幂级数是 9.4.2 节后面讨论的麦克劳林级数的例子。可以使用 taylor 命令 taylor(f,n) 来求得。例如，例 7.30(b) 的级数展开的前五项由以下命令确定：

syms x f = 1/((1 – x)*(1 + 3*x)); taylor(f, x, 'Order', 5); pretty(ans)

结果为

1 – 2x + 7x2 – 20x3 + 61x4

其逆过程，即把幂级的和表示为初等函数，往往很困难甚至不可能，但一旦能够实现，通常会使实际问题得到极大的简化。

例 7.31 求级数的和

(a) $$1^2 + 2^2x + 3^2x^2 + 4^2x^3 + 5^2x^4 + \dots$$      (b) $1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} + \frac{x^3}{6!} + \frac{x^4}{8!} + \dots$

解 (a) 设

$$S = 1^2 + 2^2x + 3^2x^2 + 4^2x^3 + 5^2x^4 + \dots + (n+1)^2x^n + \dots$$

则

$$xS = 1^2x + 2^2x^2 + 3^2x^3 + 4^2x^4 + \dots + n^2x^n + \dots$$

并用 S 减去该式得

$$\begin{aligned} (1 - x)S &= 1^2 + (2^2 - 1^2)x + (3^2 - 2^2)x^2 + (4^2 - 3^2)x^3 + \dots + [(n+1)^2 - n^2] \ &\quad x^n + \dots \ &= 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \dots + (2n+1)x^n + \dots \ &= (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n \dots) + 2(x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n + \dots) \ &= (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots) + 2x(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \ &\quad + nx^{n-1} + \dots) \end{aligned}$$

第一个括号内是公比为 $x$ 的等比级数，其和为 $\frac{1}{1-x}$ , $|x| < 1$ 。

第二个括号内是公比为 $x$ 的等差-等比级数，其和为 $\frac{1}{(1-x)^2}$ , $|x| < 1$ （见练习 7.6.4，第 42 题）。因此

$$(1-x)S = \frac{1}{1-x} + \frac{2x}{(1-x)^2} = \frac{1+x}{(1-x)^2}$$