以及

$$S = \frac{1+x}{(1-x)^2} \quad (-1 < x < 1)$$

(b) 求这个级数的和依赖于识别出它与双曲余弦级数的相似性：

$$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \quad (-\infty < x < \infty)$$

将 $x$ 替换为 $\sqrt{x}$ 得到

$$\cosh \sqrt{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} + \frac{x^3}{6!} + \dots \quad (-\infty < x < \infty)$$

于是该级数即被求和。

例 7.32

求级数

$$(a) S(\lambda) = \sum_{r=0}^{\infty} r \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!} \quad (b) T(\lambda) = \sum_0^{\infty} r^2 \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$$

的和，并证明

$$T(\lambda) - [S(\lambda)]^2 = \lambda$$

解 (a) 通过将 $S(\lambda)$ 改写为如下形式

$$S(\lambda) = \lambda \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\lambda^{r-1}}{(r-1)!} e^{-\lambda}$$

和设定 $n = r - 1$ 我们有

$$\begin{aligned} S(\lambda) &= \lambda \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} \ &= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}, \quad \text{using the result 7.7.2(c)} \ &= \lambda \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (b) \text{ Similarly } T(\lambda) &= \sum_{r=0}^{\infty} \frac{r(r-1) + r}{r!} \lambda^r e^{-\lambda} \ &= \sum_{r=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right] \lambda^r e^{-\lambda} \ &= \lambda^2 \sum_{r=2}^{\infty} \frac{\lambda^{r-2}}{(r-2)!} e^{-\lambda} + \lambda \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\lambda^{r-1}}{(r-1)!} e^{-\lambda} \ &= \lambda^2 e^{-\lambda} e^{\lambda} + \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \ &= \lambda^2 + \lambda \end{aligned}$$