$$\frac{\theta^2}{2\pi l^2} \sqrt{\frac{EI}{\rho}}$$

其中 $l$ 是梁的长度， $E$ 是杨氏模量， $I$ 是梁绕其中性轴的转动惯量， $\rho$ 是它的密度，且 $\theta$ 满足方程

$$\tan \theta = \tanh \theta$$

我们可以通过作图求出满足上述方程的 $\theta$ 的近似值，如图 7.26 所示。从图中可以清楚地看到，根恰好出现在点 $\theta = 0$ , $\frac{5}{4}\pi$ , $\frac{9}{4}\pi$ , $\frac{13}{4}\pi$ , .... 之前。使用计算器，我们可以比较 $\tan\theta$ 和的值 $\tanh\theta$ , 得到图 7.27 的表格，由此得到靠近 $\theta = \frac{5}{4}\pi$ 的根的估计值 $3.925 \pm 0.005$ 。

如果我们需要比这更精确的答案，可以采用更细的子表划分。在某些问题中，这可能非常繁琐且耗时。更好的策略是使用区间减半或二分法。我们知道根位于 $\theta_1 = 3.92$ 和 $\theta_2 = 3.93$ 之间。我们计算出该区间中点处函数的值，即 $\theta_3 = 3.925$ ，然后判断根是位于 $\theta_1$ 和 $\theta_3$ 之间，还是位于 $\theta_3$ 和 $\theta_2$ 之间。然后在包含根的子区间上重复这一过程，如此继续，直到获得足够的精度为止。

该过程以表格形式列于图 7.28 中。注意在每一步中对根所在区间端点的重新命名，使得所考察的区间始终记为 $[\theta_1, \theta_2]$ 。经过五次迭代后我们得到 $\theta = 3.92672 \pm (0.005/2^5)$ 。

二分法的一种改进是试位法（也称为 regula falsi）。为了求解方程 $f(x) = 0$ ，给定 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $f(x_1) > 0$ 和 $f(x_2) < 0$ 和 $f(x)$ 在 $(x_1, x_2)$ 上连续，二分法取点

图 7.27 数值表。

图 7.26 方程的根 $\tan\theta = \tanh\theta$ .

图 7.28
求解
$\tan \theta - \tanh \theta = 0$
用二分
法。