7.9.4 习题

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

62 画草图并讨论以下函数的连续性

画草图并讨论 (a) $$\frac{|x|}{x}$$ (b) $\frac{x-1}{2-x}$ (c) $\tanh \frac{1}{x}$ (d) $\lfloor 1 - x^2 \rfloor$

画草图并讨论 (a) $$\frac{|x|}{x}$$ (b) $\frac{x-1}{2-x}$ (c) $\tanh \frac{1}{x}$ (d) $[1-x^2]$

63 求由下式得到的上界和下界

(a) $$2x^2 - 4x + 7$$ ( $0 \leq x \leq 2$ )

(b) $$-x^2 + 4x - 1$$ ( $0 \leq x \leq 3$ )

在适当的定义域内。画草图说明你的答案。

64 用介值定理证明方程

$$x^3 + 10x^2 + 8x - 50 = 0$$

在 1 和 2 之间、−4 和 −3 之间以及 −9 和 −8 之间有根。用二分法求出 1 和 2 之间的根，精确到 2 位小数。

65 证明方程 $3^x = 3x$ 在区间内有一个根 $(0.7, 0.9)$ 。使用介值定理和试位法求出这个根，精确到 3 位小数。

66 证明方程

$$x^3 - 3x + 1 = 0$$

有三个根 $\alpha$ , $\beta$ 和 $\gamma$ , 其中 $\alpha < -1$ , $0 < \beta < 1$ 和 $\gamma > 1$ 。对于这些迭代格式中的哪一个

$$x_{n+1} = \frac{1}{3}(x_n^3 + 1)$$

是收敛的？将根计算到小数点后 3 位。

67 三次方程 $x^3 + 2x - 2 = 0$ 可以写成

$$(a) \ x = 1 - \frac{1}{2}x^3 \qquad (b) \ x = \frac{2}{2 + x^2}$$

(c) $$x = (2 - 2x)^{1/3}$$

确定其中哪个相应的迭代过程收敛最快，以求出该方程的实根。据此将根计算到小数点后 3 位。

68 证明迭代

$$x_{n+1} = \frac{1}{3} \left( 2x_n + \frac{a}{x_n^2} \right)$$

收敛于极限 $a^{1/3}$ 。使用该公式，取 $a = 157$ 和 $x_0 = 5$ 进行比较 $x_1$ 和 $x_2$ 。

证明误差 $\varepsilon_n$ 在第 $n$ 次迭代中由下式给出 $\varepsilon_{n+1} \approx \varepsilon_n^2/x_{n-1}$ ，其中 $x_n = a^{1/3} + \varepsilon_n$ 。据此估计上面所得 $x_1$ 中的误差。

69 悬臂梁固有振动的周期由下式给出

$$\frac{2\pi l^2}{\theta^2} \sqrt{\frac{\rho}{EI}}$$

其中 $l$ , $E$ , $I$ 和 $\rho$ 是依赖于悬臂梁形状和材料的物理常数，且 $\theta$ 是方程的一个根

$$\cosh \theta \cos \theta = -1$$

用图形方法考察这个方程。估计它的最小根 $\alpha_0$ 并求其第 $k$ 个根的近似值 $\alpha_k$ 。比较这两种迭代：

$$\theta_{n+1} = \cosh^{-1}(-\sec \theta_n)$$

和

$$\theta_{n+1} = \cos^{-1}(-\operatorname{sech} \theta_n)$$

应该用哪一种来求 $x_0$ ?

7.10 工程应用：绝缘子链

图 7.30 所示绝缘子链中第 $V_k$ 个绝缘子上的电压 $k$ 满足以下递推关系

$$V_{k+2} - \left( 2 + \frac{C_2}{C_1} \right) V_{k+1} + V_k = 0$$