与 $V_0 = 0$ 和 $V_n = v$ ，即施加在链首端的电压幅值。该递推关系的特征方程为

$$\lambda^2 - \left(2 + \frac{C_2}{C_1}\right)\lambda + 1 = 0$$

它有实根

$$\lambda_{1,2} = 1 + \frac{C_2}{2C_1} \pm \sqrt{\left[ \frac{C_2}{C_1} \left( 1 + \frac{C_2}{4C_1} \right) \right]}$$

因此，通解为

$$V_k = A\lambda_1^k + B\lambda_2^k$$

应用条件 $V_0 = 0$ 得到

$$A + B = 0$$

应用条件 $V_n = v$ 得到

$$A\lambda_1^n + B\lambda_2^n = v$$

于是 $B = -A$ 和 $A = v(\lambda_1^n - \lambda_2^n)$ 和

$$V_k = \frac{v(\lambda_1^k - \lambda_2^k)}{\lambda_1^n - \lambda_2^n}$$

在典型的绝缘子链中 $C_2/C_1 = 0.1$ 和 $n = 10$ 。留给读者计算 $V_k/v$ 对于 $k = 1, 2, \dots, 9$ .

7.11 工程应用：函数逼近与帕德（Padé）近似

我们在前面介绍了线性插值和二次插值，作为在已知值之间估计函数取值的一种手段（见 2.9.1 节）。在工程应用中，获得函数的良好近似往往非常重要。在本节中，我们将展示如何利用所学的幂级数表示知识，得出一种工程师广泛使用的函数近似表示方法，例如在控制系统中建模时间延迟时用有理函数逼近指数函数。该方法归功于帕德（Padé），其基础是级数展开的匹配。

例 7.38 求函数 $e^{-x}$ 的如下形式的近似

$$e^{-x} \approx \frac{a + bx + cx^2}{A + Bx + Cx^2}$$

图 7.30