$$\frac{1}{2}L\omega jI_0 - \frac{j}{C\omega}(I_0 - I_1) = E$$

$$L\omega jI_k - \frac{j}{C\omega}(I_k - I_{k+1}) + \frac{j}{C\omega}(I_{k-1} - I_k) = 0$$

$$(k = 1, \dots, N - 1) \quad (7.20)$$

$$\frac{1}{2}L\omega jI_n + \frac{j}{C\omega}(I_{n-1} - I_n) = 0$$

（参见第 3.6 节中复数在交流电路中的应用。）

证明 $I_k = A(e^{\theta})^k = Ae^{k\theta}$ 满足 (7.20)，条件是 $\cosh \theta = 1 - \frac{1}{2}LC\omega^2$ 。注意该方程给出 $\theta$ 的两个值，因此一般而言 $I_k$ 可以写成

$$I_k = Ae^{k\theta} + Be^{-k\theta}$$

其中 $A$ 和 $B$ 与 $k$ 无关。使用 $I_0$ 和 $I_n$ , 求出 $A$ 和 $B$ 的值，并证明

$$I_k = jEC\omega \frac{\cosh(n-k)\theta}{\sinh \theta \sinh n\theta}$$

22 一根长度为 $l$ 的轻质梁两端水平固定。它在距一端 $W$ 处承受一个集中载荷 $a$ （ $x = 0$ ）。该点处的剪力 $F$ 和弯矩 $M$ 为 $x$ 由梁上的

$$F = \begin{cases} \frac{W(l-a)^2(l+2a)}{l^3} & (0 < x < a) \ \frac{-Wa^2(3l-2a)}{l^3} & (a < x < l) \end{cases}$$

和

$$M = \begin{cases} \frac{W(l-a)^2[al-x(l+2a)]}{l^3} & (0 < x < a) \ \frac{Wa^2[al-2l^2+x(3l-2a)]}{l^3} & (a < x < l) \end{cases}$$

画出这些函数的图像。使用 Heaviside（赫维赛德）函数得到 $M$ 和 $F$ 的单一表达式。

23 (a) 证明

$$\sin 4\theta = 4 \sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) \sqrt{(1 - \sin^2 \theta)},$$

$$-\pi/2 < \theta < \pi/2$$

(b) 使用二项式展开证明

$$\sqrt{(1 - \sin^2 \theta)} = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 \theta - \frac{1}{8} \sin^4 \theta - \frac{1}{16} \sin^6 \theta + A \sin^8 \theta + \dots$$

并给出 $A$ 的值。

(c) 证明 $\sin 4\theta$ 可以表示为如下形式

$$\sin 4\theta = 4 \sin \theta - 10 \sin^3 \theta + \frac{7}{2} \sin^5 \theta + \frac{3}{4} \sin^7 \theta + \dots$$

24 级数

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \dots$$

求和得到值 $\pi^2/8$ 。线性插值的拉格朗日公式为

$$f(x) \simeq \frac{(x-x_0)f_1 - (x-x_1)f_0}{x_1 - x_0}$$

通过设置 $x = 1/n$ 和 $f(x) = S_n$ 其中

$$S_n = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2}$$

证明

$$S_\infty \simeq \frac{qS_q - pS_p}{q - p}$$

其中 $p$ 和 $q$ 是整数。选取 $p = 5$ 和 $q = 10$ , 估计其值。 $\pi^2/8$ 。

25 表达式 $\frac{x}{1 + ax^2}$ 被用作 $\frac{1}{2} \ln[(1+x)/(1-x)]$ 在

$-1 < x < 1$ 上的近似，方法是为常数 $a$ 选取一个合适的值。证明

$$\frac{x}{1 + ax^2} - \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -(\frac{1}{3} + a)x^3 - (\frac{1}{5} - a^2)x^5 - (\frac{1}{7} + a^3)x^7 + \dots$$

对于 $|x| < R$ ，给出 $R$ 的值。此近似中的误差由该展开式中的第一项主导。求出使该项等于零的 $a$ 的值，并计算相应的系数中 $x^5$ 。

在同一坐标系中画出……的图像

$$y = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right), \quad y = x + \frac{1}{3}x^3$$

$$\text{and } y = \frac{3x}{3-x^2} \text{ for } 0 \leq x \leq 1$$