求多项式近似式，使得 $\sinh^{-1}x$ 对于 $-0.5 < x < 0.5$ 其截断误差小于 (a) 0.005 和 (b) 0.00005。

17 圆的一条弦长为半英里，其所对的弧长比弦长 1 英尺（1 英里 = 5280 英尺）。证明该弧在圆心处所张的角 $\theta$ 满足

$$\sin \frac{1}{2}\theta = \frac{1320}{2641}\theta$$

利用正弦的级数展开求此方程的近似解，并估计弧在其弦上方的最大高度。

18 某机器以 3600 英镑购入。该机器的年运行费用最初为 1800 英镑，但每年递增 10%。经过 $x$ 年后，其二手价值为 3600e 英镑^-0.35x。证明经过 $x$ 年后的年均费用 £C（包括折旧）由下式给出

$$C = \frac{3600(1 - e^{-0.35x})}{x} + 90(19 + x)$$

用图象说明该机器应在大约 4 年后更换，并用迭代法精确化这一估计。

19 考虑由下式定义的数列 $\phi_n$ ：

$$\phi_n = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n + \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-n} \right]$$

证明 $\phi_n \rightarrow e$ 当 $n \rightarrow \infty$ 。利用 $\ln(1+x)$ 和 $e^x$ 的幂级数展开式，证明

$$\begin{aligned} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n &= \exp\left[n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right] \ &= e\left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} - \frac{7}{16n^3} + \dots\right) \end{aligned}$$

并由此推出

$$\phi_n = e\left(1 + \frac{11}{24n^2} + \dots\right)$$

计算 $\phi_{64}$ 和 $\phi_{128}$ （不要使用计算器上的 $y^x$ 键），并用外推法估计下列数值 $e$ 。

20 一根单位长度重量为 $W$ 的梁在同一水平高度上简支于 $(N + 1)$ 个等距支点上，两端的支点位于梁的端点处。弯矩 $M_k$ 在第 $k$ 个支点处满足递推关系

$$M_{k+2} +} + 4M_{k+1+} + M_k = \frac{1}{2} Wa^2$$

其中 $a$ 是支点之间的距离，且 $M_0 = 0$ 和 $M_N = 0$ 。（这是克拉佩龙三弯矩定理的推论。）证明：如果数列 ${A_k}{k=0}^N$ 和 ${B_k}{k=0}^N$ 由递推公式计算得出

$$A_0 = A_1 = 0$$

$$A_{k+2} + 4A_{k+1} + A_k = 1 \quad (k = 0, 1, \dots, N-2)$$

且

$$B_0 = 0, \quad B_1 = 1$$

$$B_{k+2} + 4B_{k+1} + B_k = 0 \quad (k = 0, 1, \dots, N-2)$$

则弯曲矩问题的解由下式给出

$$M_k = \frac{1}{2} Wa^2 A_k + M_1 B_k \quad (k = 0, \dots, N)$$

其中 $\frac{1}{2} Wa^2 A_N + M_1 B_N = 0$ 确定以下数值 $M_1$ 。

请在以下情况下进行计算： $N = 8$ , $a = 1$ 且 $W = 25$ 。

21 一个复电压 $E$ 施加于图 7.31 所示的梯形网络。证明（复）网孔电流 $I_k$ 满足以下方程

图 7.31