8.1 引言

工程师需要分析的实际问题中，许多都涉及变化的量。无论是冷却剂的温度、传输线上的电压，还是涡轮叶片上的扭矩，进行此类分析的数学工具都是相同的。其中最成功的工具之一是微积分，它包含两种基本运算：微分和积分。从历史上看，积分先被发展起来，事实上，其中一些思想和结果可以追溯到2000多年前，当时希腊人发展了穷竭法来计算一侧由曲线围成的区域的面积——阿基米德（公元前287–212年）曾用这种方法得出了圆面积的精确公式。微分的发展则晚得多，是在十七世纪，与确定曲线上任意点处切线的问题相关。其特征性质可能最早由费马在1638年用于求某些特殊函数的极大值点和极小值点。他注意到切线在某些点必定是水平的，并发展了一种求这些点的方法：在一个代数方程中稍微改变变量，然后让这个改变“消失”。确定曲线下面积与求曲线上某点切线这两个过程之间的联系，最早于1663年由巴罗认识到，他是牛顿在剑桥大学的老师。然而，真正充分认识到这一关系所蕴含意义的，是独立开展研究的牛顿（1642–1727）和莱布尼茨（1646–1716）。这促使他们发展了微积分，作为处理变化与运动的方法。对他们工作的开发利用引发了一个数学活动极其活跃的时代，其中许多活动都源于解决应用问题的愿望，尤其是牛顿，他的成就巨大，包括引力定律的建立。在十八和十九世纪，拉格朗日、柯西和黎曼为微积分奠定了更坚实的数学基础。时至今日，微积分仍然是工程师使用的最强大的数学工具之一。在本章和下一章中，我们将回顾微积分的基本思想和技术，巩固并扩展读者已有的知识，并展示它们在建立实际问题的数学模型以及求解这些模型中的应用。

近年来，符号代数软件包取得了显著发展，例如 MAPLE 和 MATLAB 中的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox），它们能够进行代数运算，包括计算导数和积分。对于缺乏经验的人来说，这一发展似乎意味着工程师不再需要能够手工进行哪怕是微积分的基本运算。然而，事实远非如此。如果工程师要将微积分相关的强大技术应用于工业问题的设计和分析，那么扎实掌握微分和积分的基础是必不可少的。首先，这有助于有效地建立、理解和分析数学模型。其次，它为理解符号代数软件包提供了基础，尤其是在需要特定形式的结果时。为了获得这种理解，必须对相关基本技术的运用达到一定的熟练程度。本章和下一章的目标就是为此提供最低限度的要求。同时，学生应当有机会发展使用符号代数软件包的技能，并且在适当的时候，应鼓励他们使用此类软件包来检验习题的答案。