8.2 微分

在本节中，我们将介绍微分的概念，并说明它在一些问题求解和建模情境中的作用。

8.2.1 变化率

考虑一个以恒定速度沿直线运动的物体 $u$ （单位为 $\text{ms}^{-1}$ ）。该物体在时间 $s$ （单位为秒）内行进的距离 $t$ （单位为米）由公式 $s = ut$ 给出。该运动的距离–时间图像是图 8.1 中所示的直线。注意，速度 $u$ 是距离关于时间的变化率，并且在距离–时间图像上，它是表示行进距离与经过时间之间关系的直线的梯度（斜率）。当然，这是速度恒定、行进距离是时间的线性函数的特殊情形。然而，即使速度随时间变化，它仍然由距离–时间图像的梯度给出，只不过此时梯度沿曲线逐点变化。

图 8.1

恒定速度 u 下的距离–时间图像。

考虑图 8.2(a) 所示的距离–时间图像。假设我们想求出在时间 $t = t_1$ 时的速度。在 $t = t_1$ 由图像在 $t = t_1$ 处的梯度给出。为了求出它，我们可以放大图像在 $t = t_1$ 附近的那一部分，如图 8.2(b) 和 (c) 所示。我们记得，连续函数具有局部可用线性函数近似（见第 7.9.1 节，性质 f）的性质。可以看到，随着放大倍数的增加（即更近距离地缩放），图像呈现出

图 8.2

(a) 距离–时间图像，(b) 围绕 (t1, s1) 的外矩形放大图，(c) 围绕 (t1, s1) 的内矩形放大图。