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有时多项式函数并不以 (8.10) 的标准形式表示 $f(x) = (2x + 5)^3$ 和 $f(x) = (3x - 1)^2(x + 2)^3$ 就是这样的例子。这种情况将在下文讨论（见第 8.3.6 节），届时将讨论复合函数的求导。
多项式函数的导数可以通过对用于计算函数本身的综合除法（或嵌套乘法）方法作简单扩展来进行数值计算。我们在第 2.4.3 节中看到
$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + + a_0$$
可以写成 $f(x) = g(x)(x - c) + f(c)$ 其中
$$g(x) = b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_1x + b_0$$
且系数 $b_{n-1}, \dots, b_0$ 是在嵌套乘法的过程中生成的。对 $f(x)$ 关于 $x$ 使用乘积法则求导得到
$$f'(x) = g'(x)(x - c) + g(x)(1)$$
因此
$$f'(c) = g'(c)(0) + g(c)(1) = g(c)$$
因此我们可以求值 $f'(c)$ 再次应用嵌套乘法方法，但这次是对 $g(x)$ 。
例 8.13 求多项式函数 $f(2)$ 和 $f'(2)$ 的值
$$f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 3x - 2$$
解
| 解 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| $\times 2$ | $0$ | $-4$ | $-1$ | $3$ | |
| $18 = f(2)$ | |||||
| $\times 2$ | $0$ | $4$ | $12$ | $30$ | |
| $2$ | $6$ | $15$ | $39 = f'(2)$ |
这种求函数及其导数值的方法非常高效，常用于需要求多项式方程根的计算机软件包中。
8.3.4 有理函数的求导
正如我们在第 2.5 节中所见，有理函数具有如下一般形式
$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$
其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式。为了求这类函数的导数，我们利用常数乘法法则、和法则与商法则，如例 8.14 所示。