例 8.11 已知 $y = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 3x - 2$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 。

解 使用和规则逐项求导，得

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^4) - \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(2)$$

再使用常数乘法规则，得

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= 2 \frac{d}{dx}(x^4) - 2 \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) + 3 \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(2) \ &= 2(4x^3) - 2(3x^2) - (2x) + 3(1) - 0 \end{aligned}$$

因此

$$\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 3$$

例 8.12 某物体在 $s$ 秒内移动的距离 $t$ （米）由下式给出

$$s = 2t^3 - 1.5t^2 - 6t + 12$$

求 2 秒后的速度和加速度。

解                      $s = 2t$

$$s = 2t^3 - 1.5t^2 - 6t + 12$$

速度 $v$ ( $\text{m s}^{-1}$ ) 由下式给出 $v = \frac{ds}{dt}$ ，因此

$$v = \frac{ds}{dt} = 2(3t^2) - 1.5(2t) - 6(1) = 6t^2 - 3t - 6$$

当 $t = 2$ 秒

$$v = 6(4) - 3(2) - 6 = 12$$

因此 2 秒后的速度为 12 m s^-1。

加速度 $a$ ( $\text{m s}^{-2}$ ) 由下式给出 $a = \frac{dv}{dt}$ ，因此

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (6t^2 - 3t - 6) = 12t - 3$$

当 $t = 2$ 秒

$$a = 12(2) - 3 = 21$$