574 微分与积分

例 8.15 求 $\frac{dy}{dx}$ 当 $y$ 时

(a) $(5x^2 + 11)^9$ (b) $\sqrt{(3x^2 + 1)}$

解 (a) 在这种情况下，我们可以将 $(5x^2 + 11)^9$ 展开，并把它当作一个 18 次的多项式来处理。然而，把它看作一个复合函数更有利，如图 8.19(a) 所示。于是，取

$$y = z^9 \quad \text{and} \quad z = 5x^2 + 11$$

$$\frac{dy}{dz} = 9z^8 \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = 10x$$ 因此，根据链式法则，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = 9(5x^2 + 11)^8(10x) = 90x(5x^2 + 11)^8$$ (b) 复合函数 $y = \sqrt{(3x^2 + 1)}$ 可以表示为图 8.19(b)。于是，取

$$y = \sqrt{z} = z^{1/2} \quad \text{and} \quad z = 3x^2 + 1$$

$$\frac{dy}{dz} = \frac{1}{2}z^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{z}} \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = 6x$$ 因此，根据链式法则，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{(3x^2 + 1)}} 6x = \frac{3x}{\sqrt{(3x^2 + 1)}}$$ 通常将 $z$ 作为中间（或辅助）变量，一旦理解了该过程，就可以省略用框图进行示意图表示的阶段。注意，当 $z = g(z)$ 是一个线性函数 $z = ax + b$ ，则 $\frac{dz}{dx} = a$ 和

$$\frac{dy}{dx} = af'(ax + b).$$ 图 8.19
(a) 的表示 $y = (5x^2 + 11)^9$ 。
(b) 的表示 $y = \sqrt{(3x^2 + 1)}$ .

(a)

$x$      $3(\bullet)^2 + 1$      $z = 3x^2 + 1$      $\sqrt{(\bullet)}$      $y = \sqrt{z}$

(b)