8.3.6 复合函数的求导

如前所述，要对许多函数求导，我们需要一条进一步的法则来处理复合函数。

法则 5（复合函数法则或链式法则）

如果 $z = g(x)$ 且 $y = f(z)$ 那么

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = f'(z)g'(x)$$

验证法则 5比法则 1–4 稍微困难一些。对于增量 $\Delta x$ 于 $x$ ，设 $\Delta z$ 与 $\Delta y$ 为 $z$ 和 $y$ 分别地。于是由定义 (8.1) 可得

$$\Delta z = g'(x)\Delta x + \varepsilon_1 \Delta x \quad (8.11)$$

其中 $\varepsilon_1 \rightarrow 0$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 。同理

$$\Delta y = f'(z)\Delta z + \varepsilon_2 \Delta z \quad (8.12)$$

其中 $\varepsilon_2 \rightarrow 0$ 当 $\Delta z \rightarrow 0$ 。结合 (8.11) 与 (8.12) 可得

$$\Delta y = [f'(z) + \varepsilon_2][g'(x) + \varepsilon_1]\Delta x$$

因此

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(z)g'(x) + \varepsilon_2 g'(x) + \varepsilon_1 f'(z) + \varepsilon_1 \varepsilon_2$$

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 也有 $\Delta z \rightarrow 0$ , $\varepsilon_1 \rightarrow 0$ 和 $\varepsilon_2 \rightarrow 0$ 和

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(z)g'(x)$$

根据需要。

改编图 2.12（见第 2.2.3 节），链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}$$

可以如图 8.18 所示表示。

图 8.18
微分的链式法则。