于是由乘积法则可得

$$\begin{aligned} u & \quad \frac{dv}{dx} & \quad v & \quad \frac{du}{dx} \ \downarrow & \quad \downarrow & \quad \downarrow & \quad \downarrow \ \frac{dy}{dx} &= (x^2 + 1)^3 \frac{1}{2\sqrt{(x-1)}} + \sqrt{(x-1)} 6x(x^2 + 1)^2 \ &= \frac{(x^2 + 1)^2}{2\sqrt{(x-1)}} [(x^2 + 1) + 12x(x-1)] \ &= \frac{(x^2 + 1)^2(13x^2 - 12x + 1)}{2\sqrt{(x-1)}} \end{aligned}$$

(d) 在这种情况下我们处理的是商

$$y = \frac{u}{v}$$

其中 $u = \sqrt{(2x + 1)}$ 且 $v = (x^2 + 1)^3$ 。于是由商法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{v \left( \frac{du}{dx} \right) - u \left( \frac{dv}{dx} \right)}{v^2}$$

为了求出 $\frac{du}{dx}$ 我们引入中间变量 $z = 2x + 1$ ，得到 $u = z^{1/2}$ 且 $z = 2x + 1$ ，因此由链式法则

$$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dz} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(2x + 1)}}$$

为了求出 $\frac{dv}{dx}$ 我们引入中间变量 $w = x^2 + 1$ 得到 $v = w^3$ 以及 $w = x^2 + 1$ 因此根据链式法则

$$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \frac{dw}{dx} = 3(x^2 + 1)^2 2x = 6x(x^2 + 1)^2$$

然后，根据商法则，

$$\begin{aligned} u & \quad \frac{du}{dx} & \quad u & \quad \frac{dv}{dx} & \quad v^2 \ \downarrow & \quad \downarrow & \quad \downarrow & \quad \downarrow \ \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + 1)^3 \frac{1}{\sqrt{(2x + 1)}} - \sqrt{(2x + 1)} 6x(x^2 + 1)^2}{(x^2 + 1)^6} & \leftarrow & = \frac{1 - 6x - 11x^2}{(x^2 + 1)^4 \sqrt{(2x + 1)}} \end{aligned}$$