（利用 (7.16)）

$$= e^x \lim_{\Delta x \rightarrow 0} [1 + \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{6}(\Delta x)^2 + \dots]$$

因此

$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x \quad (8.22)$$

于是指数函数（以 e 为底）具有一个特殊性质：它的导数就是它本身。这一点在前面已经描述过（见 2.7.1 节）。

取 $y = \ln x$ ，我们有 $x = e^y$ 因此

$$\frac{dx}{dy} = e^y$$

然后，根据反函数法则，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

也就是说，

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0 \quad (8.23)$$

例 8.19 求 ^d

当 y 由下式给出时的 d y x

(a) $$x^2e^x$$

(b) $$3e^{-2x}$$

(b) $$3e^{-2x}$$ (c) $\frac{\ln x}{x^2}$

(d) $$\ln(x^2 + 1)$$      (e) $e^{-x}$

(e) $$e^{-x}(\sin x + \cos x)$$

解 (a) 取 $u = x^2$ 以及 $v = e^x$

$$\frac{du}{dx} = 2x \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = e^x$$

于是根据乘积法则

$$\frac{dy}{dx} = x^2e^x + 2xe^x = x(x + 2)e^x$$

(b) 引入中间变量 $z = -2x$ 那么

$$y = 3e^z \quad \text{and} \quad z = -2x$$

$$\frac{dy}{dz} = 3e^z \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = -2$$

因此根据链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx} = (3e^{-2x})(-2) = -6e^{-2x}$$