586 微分与积分对于例 8.17(h)，MATLAB 命令

syms x y
y = atan(2*x/(1 + x^2));
dy = simplify(diff(y));

返回导数为

$$dy = -2 \frac{x^2 - 1}{x^4 + 6x^2 + 1}$$ 对于例 8.18(a)，MATLAB 命令

syms x y
y = (sin(x^2 + 1))^2; dy = diff(y); pretty(dy)

返回答案

$$4 \sin(x^2 + 1) \cos(x^2 + 1) x$$

8.3.11 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验你的答案。

34 对……求导 $x$ :

• (a) $\sin(3x - 2)$

• (b) $\cos^4 x$

• (c) $\cos^2 3x$

• (d) $\sin 2x \cos 3x$

• (e) $x \sin x$

• (f) $\sqrt{2 + \cos 2x}$

• (g) $a \cos(x + \theta)$

• (h) $\tan 4x$ 35 对……求导 $x$ :

• (a) $\sin^{-1}(x/2)$

• (b) $\cos^{-1}(5x)$

• (c) $\sqrt{1 + x^2} \tan^{-1} x$

• (d) $\sin^{-1}((x - 1)/2)$

• (e) $\tan^{-1} 3x$

• (f) $\sqrt{1 - x^2} \sin^{-1} x$ 36 一个半顶角为 $\theta$ 的圆锥内接于半径为 $a$ 的球中。证明该圆锥的体积为

$$V = \frac{8}{3} \pi a^3 \sin^2 \theta \cos^4 \theta$$ 由此证明，在给定半径的球中能内接的最大体积圆锥的 $\frac{8}{27} \pi a^3$ 球的体积。

37 对……求导 $x$ :

• (a) $\cos^3(x^3)$
• (b) $\tan^{-1}(\frac{1}{2} \tan \frac{1}{2}x)$
• (c) $\sqrt{1 + \sin^3 x}$
• (d) $\cos \sqrt{x}$

8.3.12 指数函数及相关函数的求导

形式化定义（8.1）给出了……的导数 $e^x$ 作为

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(e^x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \ &= e^x \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1 + \Delta x + (\Delta x)^2/2! + (\Delta x)^3/3! + \dots - 1}{\Delta x} \end{aligned}$$