(c) 取 $u = e^{-3x}$ 并且 $v = \sinh 3x$

利用链式法则得到

$$\frac{du}{dx} = -3e^{-3x} \quad \text{and} \quad \frac{dv}{dx} = 3\cosh 3x$$

因此由乘积法则

$$\begin{aligned}\frac{dy}{dx} &= (e^{-3x})(3 \cosh 3x) + (\sinh 3x)(-3e^{-3x}) = 3e^{-3x}(\cosh 3x - \sinh 3x) \ &= 3e^{-3x}(e^{-3x}) = 3e^{-6x}\end{aligned}$$

(d) 引入中间变量 $z = \frac{3}{4} x$ 得到

$$y = \sinh^{-1}z \quad \text{and} \quad z = \frac{3}{4}x$$

$$\frac{dy}{dz} = \frac{1}{\sqrt{(1+z^2)}} \quad \text{and} \quad \frac{dz}{dx} = \frac{3}{4}$$

因此由链式法则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{9}{16}x^2)}} = \frac{3}{\sqrt{(16 + 9x^2)}}$$

作为练习，请使用 MATLAB 检验例 8.19 和例 8.20 的答案。作为说明性示例，我们考虑例 8.19(a) 和例 8.20(c)。对于例 8.19(a)，MATLAB 命令

syms x y y = (x^2)*exp(x); dy = simplify(diff(y));

返回的导数为

$$dy = x \exp(x) (2 + x)$$

对于例 8.20(c)，命令

syms x y y = exp(–3*x)*sinh(3*x); dy = simplify(diff(y));

返回的导数为

$$dy = -3\exp(-3x) \sinh 3x + 3 \exp(3x) \cosh 3x$$