8.3.13 习题

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

38 对……求导，自变量为 $x$ :

• (a) $e^{2x}$
• (b) $e^{-x/2}$
• (c) $\exp(x^2 + x)$ (d) $x^2e^{5x}$
• (e) $(3x + 2)e^{-x}$      (f) $e^x/(1 + e^x)$

• (a) $e^{2x}$	(b) $e^{-x/2}$
  (c) $\exp(x^2 + x)$	(d) $x^2 e^{5x}$
  (e) $(3x + 2)e^{-x}$	(f) $e^{5/x}(1 - e^{-x})$
  (g) $\sqrt{1 + e^x}$	(h) $e^{ax+b}$

39 对……求导，自变量为 $x$ :

• (a) $\ln(2x + 3)$                      (b) $\ln(x^2 + 2x + 3)$
• (c) $\ln[(x - 2)/(x - 3)]$ (d) $\frac{1}{x} \ln x$
• (e) $\ln[(2x + 1)/(1 - 3x)]$      (f) $\ln[(x + 1)x]$

40 对……求导，自变量为 $x$ :

• (a) $\sinh 3x$                      (b) $\tanh 4x$                      (c) $x^3 \cosh 2x$
• (d) $\ln(\cosh \frac{1}{2}x)$ (e) $\cos x \cosh x$ (f) $1/\cosh x$

41 对……求导，自变量为 $x$ :

• (a) $\sinh^{-1}2x$                      (b) $\cosh^{-1}(2x^2 - 1)$

• (d) $\ln(\cosh \frac{1}{2}x)$    (e) $\cos x \cosh x$    (f) 1 对……求导，自变量为 $x$ : (a) $\sinh^{-1}2x$                  (b) $\cosh^{-1}(2x^2 - 1)$ (c) $\tanh^{-1}(1/x)$              (d) $\sqrt[4]{(1 + x^2)\sinh^{-1}x}$ (e) $\sqrt[4]{(4 - x^2)} - 2 \cosh^{-1}(2/x)$

• 对……求导，自变量为 $x$ :

  $$(a) \quad \sinh^{-1} 2x \quad (b) \quad \cosh^{-1} x$$

  $$(c) \quad \tanh^{-1}(1/x) \quad (d) \quad \sqrt[1]{(1 + x)}$$

  $$(e) \quad \sqrt[3]{(4 - x^2)} - 2 \cosh^{-1}(2/x)$$

  $$(f) \quad \tanh^{-1} x / (1 + x^2)$$

• (f) $\tanh^{-1}x/(1+x^2)$

42 仔细绘制……的草图 $y = e^{-ax} \sin \omega x$ 其中 $a$ 且 $\omega$ 为正常数。该函数相邻两个极大值的高度之比是多少？

43 直线 AB 连接 x 轴和 y 轴上的点 A(a, 0)、B(0, b)，并经过点 (8, 27)。求使 AB 长度最小的 A 和 B 的位置。

44 画出曲线 $y = e^{-x^2}$ 的草图。求该曲线下方内接的、一边位于 $x$ 轴上的面积最大的矩形。

45 证明 $y = 9e^{-9t}/(10 - e^{-9t})$ 满足微分方程

$$\frac{dy}{dt} = -y(9 + y)$$

46 跳伞员的下落速度 $v(t)$ 由下式给出：

$$v(t) = u(1 - e^{-\alpha t})/(1 + e^{-\alpha t})$$

其中 $u$ 和 $\alpha$ 为常数。求达到的收尾速度是多少？跳伞员何时达到该速度的一半？此时加速度是多少？

8.3.14 参数方程与隐函数求导

当函数以参数形式给出时，链式法则与反函数法则结合使用来求导数。

法则 7（参数求导）

一般地，若一个函数由 $y = f(x)$ 定义，其中 $x = g(t)$ 和 $y = h(t)$ 且 $t$ 是参数，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt} \quad \text{or} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} \quad (8.26)$$

(8.26)