$$v(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} = s'(t)$$

由导数的定义。

同样地，时刻 t 的加速度 a(t) 由速度 v(t) 的瞬时变化率给出

$$a(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t} = v'(t)$$

根据微积分基本定理，我们有

$$v(t) = v(0) + \int_0^t a(t) dt$$

(b) 滚珠在 t 秒后经过的距离 s(t) 米满足微分方程

$$\frac{ds}{dt} = v(t)$$

因此，在时间段 (0, 4) 内经过的距离为

$$\begin{aligned} s(4) - s(0) &= \int_0^4 (8 - \frac{1}{2}t^2) dt = [8t - \frac{1}{6}t^3]_0^4 \ &= 32 - \frac{1}{6}(64) = 21\frac{1}{3} \end{aligned}$$

所以经过的距离为 21^{1 3} 米。

在时间区间 (4, 5) 内经过的距离由下式给出

$$s(5) - s(4) = \int_4^5 (8 - \frac{1}{2}t^2) dt = [8t - \frac{1}{6}t^3]_4^5 = -\frac{13}{6}.$$

所以经过的距离为 2^{1 6} 米，方向相反。

例 8.48 求定积分

$$(a) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(3-x^2)}} \quad (b) \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{(3+2x-x^2)}}$$

$$(c) \int_0^2 \frac{dx}{4 + x^2} \quad (d) \int_{-5}^5 \frac{dx}{x^2 + 10x + 50}$$

解 (a) 这里我们使用标准积分 $\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}} = \sin^{-1} x + c$ 。

重写被积函数，我们得到 $\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left[1 - \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right]}}$ .