解答 (a) 首先注意，定积分中积分变量所用的符号不影响积分的值。它是一个哑变量。因此

$$\int_0^6 \frac{4}{9} (6 - h)^2 dh = \int_0^6 \frac{4}{9} (6 - x)^2 dx$$

将被积函数展开，我们得到

$$\begin{aligned} \int_0^6 \frac{4}{9} (6 - x)^2 dx &= \int_0^6 \frac{4}{9} (36 - 12x + x^2) dx = \frac{4}{9} [36x - 6x^2 + \frac{1}{3}x^3]_0^6 \ &= \frac{4}{9} [36 \times 6 - 6 \times 36 + \frac{1}{3} \times 216] - \frac{4}{9} [0] \ &= \frac{4}{9} [72] = 32 \end{aligned}$$

正如例 8.40 所预测的那样。

$$\begin{aligned} &= \frac{4}{9}[72] = 32 \ &\text{as predicted in Example 8.40.} \ (b) \quad &\int_0^{10} 3\sqrt{10(p_0 + 10g - gy)y} dy = 3\sqrt{10} \int_0^{10} [(p_0 + 10g)y^{1/2} - gy^{3/2}] dy \ &= 3\sqrt{10[\frac{2}{3}(p_0 + 10g)y^{3/2} - \frac{2}{5}gy^{5/2}]}_0^{10} \ &= 3\sqrt{10[\frac{2}{3}(p_0 + 10g)10^{3/2} - \frac{2}{5}g10^{5/2}]} - 0 \ &= 200p_0 + 800g \end{aligned}$$

正如例 8.41 所预测的那样。

例 8.47 (a) 一个物体沿直线运动。它相对于初始位置的位移为 $s(t)$ 。证明其速度 $v(t)$ 由下式给出 $s'(t)$ 。物体的加速度为 $a(t)$ 。证明

$$v(t) = v(0) + \int_0^t a(t) dt$$

并由此推出 $a(t) = s''(t)$ 。

(b) 一颗滚珠轴承以速度沿轨道运动 $v(t)$ 毫秒^-1 由以下函数给出

$$v(t) = 8 - 0.5t^2$$

其中 $t$ 为以秒计的时间。计算滚珠在时间段 (0, 4) 和 (4, 5) 内经过的精确距离。同时求出滚珠在时刻 $t$ 的加速度公式。

解答 (a) 速度定义为位移的变化率，因此在时间区间 $(t, t + \Delta t)$ 内，变化率为 $\frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$ 。这是该时间区间上的平均变化率。在时刻 $t$ 的瞬时变化率，即速度，由以下极限给出 $\Delta t \rightarrow 0$ 。也就是说，