图 8.58

8.8.2 分段连续函数的积分

除了前面给出的规则外，从积分的基本定义还可以立即得到以下两个结果。它们是

$$\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$$

以及

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

（因此，当函数是分段定义时，如图 8.49 所示，我们可以将区间 [a, b] 分成便于处理的子区间。）

例 8.49 计算

$$(a) \int_{-1}^2 |x| dx \quad (b) \int_0^{10} H(x - 5) dx$$

其中 H 是由 (2.45) 给出的赫维赛德阶跃函数。

解 所涉及的面积如图 8.58 所示。

(a) 由于

$$|x| = \begin{cases} -x & (x \leq 0) \ x & (x \geq 0) \end{cases}$$

我们在 $x = 0$ 处拆分积分，并写作

$$\int_{-1}^2 |x| , dx = \int_{-1}^0 -x , dx + \int_0^2 x , dx = [-\frac{1}{2}x^2]_{-1}^0 + [\frac{1}{2}x^2]_0^2 = \frac{5}{2}$$

(b) 由于 $H(x - 5)$ 在 $x = 5$ , 我们记作

$$\int_0^{10} H(x-5) dx = \int_0^5 H(x-5) dx + \int_5^{10} H(x-5) dx = \int_0^5 0 dx + \int_5^{10} 1 dx = 5$$

通过观察相关区域，可以很容易地证实这些结果。