从这个最后的例子中我们看到，即使函数存在不连续点，有时也能对其进行积分。只要在积分区间内只有有限个有限不连续点，且在其他地方函数连续且有界，这就是可能的。为了说明这一点，考虑图 8.59 中所示的函数 f(x)，其中

$$y = f(x) = \begin{cases} f_1(x) & (a \leq x < b_1) \ f_2(x) & (b_1 < x < b_2) \ f_3(x) & (b_2 < x \leq b) \end{cases}$$

这样的函数称为分段连续函数。将积分解释为曲线下的面积，我们有

$$\int_a^b f(x) dx = A_1 + A_2 + A_3$$

但在这种情况下，我们将各个面积解释为

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^{b_1^-} f_1(x) dx + \int_{b_1^+}^{b_2^-} f_2(x) dx + \int_{b_2^+}^b f_3(x) dx$$

其中，如前所述， $b_1^-$ 表示从左侧趋近于 $b_1$ ， $b_1^+$ 表示从右侧趋近于 $b_1$ （见第 7.8.1 节）。正是在这个意义上，我们在例 8.49 中计算了 $\int_0^{10} H(x - 5) dx$ ，而且——严格来说——我们应该写成

$$\int_0^{10} H(x-5) dx = \int_0^{5^-} H(x-5) dx + \int_{5^+}^{10} H(x-5) dx$$

并且，由于

$$H(x - 5) = \begin{cases} 0 & (x < 5) \ 1 & (x \geq 5) \end{cases}$$

$$\int_0^{10} H(x - 5) dx = \int_0^{5^-} 0 dx + \int_{5^+}^{10} 1 dx = 5$$

图 8.59 分段连续函数。