图 8.60

$$= 32 \int_{-\pi/2}^0 (1 + \cos 2t) , dt$$

$$= 32[t + \frac{1}{2} \sin 2t]_{-\pi/2}^0$$

$$= 16[2\theta + \pi + \sin 2\theta - \sin(-\pi)]$$

$$\begin{aligned} &= 16[2\theta + \pi + \sin 2\theta - \sin(-\pi)] \ &= 32 \sin^{-1}\left(\frac{(h-2)}{2}\right) + 16\pi + 8(h-2)\sqrt{(4h-h^2)} \end{aligned}$$ $$= 32 \sin^{-1}\left(\frac{(h-2)}{2}\right) + 16\pi + 8(h-2)\sqrt{(4h-h^2)}$$

图 8.61 展示了在计算 $\int f(x) dx$ 时常用的一些代换。此列表并不详尽，还有许多特殊情况，其中一些见习题 8.8.14。

在使用定积分的代换方法时，通常最好在更换积分变量时同时更换积分限。这样可以省去回到原变量的步骤，而这一步有时会非常繁琐。一般地，设 $x = g(t)$ 可得

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx &= \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t)) g'(t) dt \ &= \int_{t_a}^{t_b} h(t) dt \quad \text{where } a = g(t_a), b = g(t_b) \text{ and } h(t) = f(g(t))g'(t) \end{aligned}$$