利用二倍角三角恒等式（见 (2.27c)）

$$\cos 2\theta = 2 \cos^2\theta - 1$$

我们得到

$$\begin{aligned} \int \sqrt{1 - x^2} dx &= \int \frac{1}{2} (1 + \cos 2\theta) d\theta \ &= \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + \text{constant} \end{aligned}$$

这给出了用 $\theta$ 而非原变量 $x$ 表示的答案。由于 $\theta = \sin^{-1}x$ ，回代可得

回代可得 $$\int \sqrt{(1 - x^2)} dx = \frac{1}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{4} \sin(2 \sin^{-1} x) + \text{constant}$$ 或者，由于 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \sqrt{(1 - \sin^2 \theta)}$ ，我们从

或者，由于 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ 注意到，可以将其写成另一种形式

$$\int \sqrt{(1-x^2)} dx = \frac{1}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{2} x \sqrt{(1-x^2)} + \text{constant}$$

例 8.61 考虑练习 2.2.2 第 4 题中所述的储液罐。证明其体积 $V(h)$ 石油深度为 $h$ 由下式给出

第 4 题中所述的更宽的储油罐以及 $$V(h)$$ 石油深度为 $h$ 由下式给出

当油的体积减少到其容量的 10% 时， $h$ 的值是多少？

解答 罐中油的体积是罐两端被油覆盖的面积 $\times$ 8. 由图 8.60 可知，罐中油的体积为

$$V(h) = 8 \int_0^h 2x dy$$

其中 $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ 。因此

$$V(h) = 8 \int_0^2 2x dy$$

代入 $y - 2 = 2 \sin t$ 将积分化简为

$$V(h) = 64 \int_{-\pi/2}^0 \cos^2 t , dt \quad \text{where } \sin \theta = (h - 2)/2$$