124 用给定的换元法求下列定积分：

− + + ² 6 2 x ^{x x} ( ) , ^{÷ d} 其中 u = Ë(x + 2)

125 在习题 11（练习 8.2.8）中，求得 P 的路径方程为

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{(a^2 - x^2)}}{x}, \quad \text{with } y = 0 \text{ at } x = a$$

使用换元 $x = a$ 对该微分方程积分，并证明 $u$ 这条曲线称为曳物线（tractrix）。

126 求下列不定积分

求不定积分

$$y = \ln \left[ \frac{a + \sqrt{(a^2 - x^2)}}{x} \right] - \sqrt{(a^2 - x^2)}$$

8.9 积分的应用

积分在工程应用中广泛使用。本节我们考虑一些使用积分的情形。 $$(a) \int \sqrt{(3 + 2 x - x^2)} dx$$

$$\int dx$$

$$(b) \int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 - 6x + 5)}} dx$$

(c) $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 4x + 8}} dx$$

$$(d) \int \frac{x+3}{\sqrt{(x^2+4x+13)}} dx$$

$$(d) \int \frac{x+3}{\sqrt{x^2+4x+13}} dx$$

$$(e) \int x\sqrt{3+2x-x^2} dx$$

8.9.1 旋转体的体积

想象将图 8.62 中函数图像下方的平面区域

绕其旋转一整周，得到一个立体。 $A$ 绕其旋转一整周，得到一个立体。 $f(x)$ , $x \in [a, b]$ 绕其旋转一整周，得到一个立体。 $x$ 轴。其结果是生成一个具有 $x$ 轴作为对称轴的立体，如图 8.63(a) 所示：这称为旋转体。如果我们想确定这个立体的体积，我们按照 8.7.1 节的方法进行，将旋转区域细分为 $n$ 竖直窄条。当子区间内的一个典型窄条 $[x_{r-1}, x_r]$ 绕 $x$ 轴旋转一整周时，它将生成一个半径为 $f(x_r^)$ （其中 $x_{r-1} < x_r^ < x_r$ ）、厚度为 $\Delta x_{r-1}$ 的薄圆盘，如图 8.63(b) 所示。该圆盘的体积由下式给出

$$\Delta V_r = \pi[f(x_r^*)]^2 \Delta x_{r-1}$$

图 8.62 旋转的平面区域。