因此，该立体的体积可以用以下方式近似

$$V \approx \sum_{r=1}^n \Delta V_r = \pi \sum_{r=1}^n [f(x_r^*)]^2 \Delta x_{r-1}$$

同样，随着条带数量的增加，这种近似也更接近精确体积。因此在极限情况下，当 $n \rightarrow \infty$ 且 $\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta x = \max_r \Delta x_r$ 时，体积由下式给出

$$V = \lim_{\substack{n \rightarrow \infty \ \Delta x \rightarrow 0}} \pi \sum_{r=1}^n [f(x_r^*)]^2 \Delta x_{r-1} = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \quad (8.36)$$

8.9.2 平面区域的形心

考虑图 8.64(a) 中由两个非连续函数的图像所围成的平面区域 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $x \in [a, b]$ 上，且 $g(x) \leq f(x)$ 在区间上。该区域的面积 $A$ 显然由下式给出

$$\begin{aligned} A &= \text{area under the graph of } f(x) - \text{area under the graph of } g(x) \ &= \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx \end{aligned}$$

也就是说，

$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx \quad (8.37)$$

图 8.63
旋转体。

图 8.64