其中 $\bar{y}k$ 是 $y$ 在 $y_k = f(x_k)$ 和 $y{k+1} = f(x_{k+1}(x_{k+1})$ 之间的平均值。因此总表面积为

$$S = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \quad (8.46)$$

例 8.64 求椭圆周长的长度 $x = a \sin t$ , $y = b \cos t$ , $0 \leq t \leq 2\pi$

解 弧长用参数形式表示为 $s$ 其中

$$s = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right]} dt$$

这里 $\frac{dx}{dt} = a \cos t$ 和 $\frac{dy}{dt} = -b \sin t$ , $t_0 = 0$ , $t_1 = 2\pi$

使得

$$\begin{aligned} s &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} dt \ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 - (a^2 - b^2) \sin^2 t} dt \ &= a \int_0^{2\pi} \sqrt{1 - m^2 \sin^2 t} dt \end{aligned}$$

其中我们已写作 $m^2 = (a^2 - b^2)/a^2$ 。根据对称性，该积分也可以写成

$$s = 2a \int_0^{2\pi} \sqrt{1 - m^2 \sin^2 t} dt$$

这个积分（称为第一类椭圆积分）只能通过数值方法求值（见第 2.12 节，习题 2）。它在某些浅水波理论以及非线性振动中也会遇到。

例 8.65曲线 $y = \sqrt{x - 2}$ 与纵坐标 $x = 2$ 和 $x = 5$ 之间所围成的区域绕 $2\pi$ 轴旋转 $x$ 弧度。计算

• (a) 旋转曲面的面积及其形心的坐标；
• (b) 旋转体所生成的体积及其重心的坐标。