令 $n \rightarrow \infty$ 且 $\max \Delta x_k \rightarrow 0$ 得到不等式

$$\int_a^b \sec \theta , dx \leq s \leq \int_a^b \sec \theta , dx$$

由此我们推出

$$s = \int_a^b \sec \theta , dx$$

对向下凹的曲线做类似的分析也得到相同的结果。

我们可以用恒等式将 $\sec \theta$ 用 $dy/dx$ 来表示

$$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$$

这里 $\tan \theta = dy/dx$ ，因此，按照约定 $s$ 随 $x$ , 我们得到

$$\sec \theta = \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]}$$

因此曲线的长度为

$$s = \int_a^b \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]} dx \quad (8.45)$$

曲面面积 $S$ 由以下方式生成： $s$ 当它绕 $2\pi$ 轴旋转 $x$ 弧度时，可以用类似的方法计算。弧元素 $\Delta s_k$ 生成一个曲面面积元素 $\Delta S_k$ ，其中

$$\Delta S_k = 2\pi\bar{y}_k \Delta s_k$$

图 8.66

(a) 曲线 $y = f(x)$ 。

(b) 弧长元素。