例 8.66 证明高为 $h$ 、半径为 $r$ 的球冠的体积为 $\pi(3r - h)h^2/3$ 。

解 如图 8.68 所示，厚度为 $\Delta x$ 的微元圆盘的体积为

$$\pi y^2 \Delta x = \pi(r^2 - x^2) \Delta x$$

，因此球冠的体积为

$$\begin{aligned} \int_{r^{-h}}^r \pi(r^2 - x^2) dx &= \pi[r^2 x - \frac{1}{3}x^3]_{r^{-h}}^r \ &= \pi[r^3 - \frac{1}{3}r^3 - r^2(r - h) + \frac{1}{3}(r - h)^3] \ &= \pi(r^2 h - r^2 h + rh^2 - \frac{1}{3}h^3) \ &= \pi(3r - h)h^2/3 \end{aligned}$$

例 8.67 电流 $i$ 由表达式

$$i = I \sin \theta$$

给出，其中 $I$ 为常数。求电流在区间上的均方根值 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 。

解 利用 (8.44)，给定电流的有效值为

$$\begin{aligned} (\text{r.m.s.}i)^2 &= \frac{1}{2\pi - 0} \int_0^{2\pi} I^2 \sin^2 \theta , d\theta \ &= \frac{I^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - \cos 2\theta) , d\theta \ &= \frac{I^2}{4\pi} [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_0^{2\pi} = \frac{I^2}{4\pi} 2\pi = \frac{1}{2} I^2 \end{aligned}$$

$$\text{r.m.s. current} = \sqrt{(\frac{1}{2}I^2)} = I/\sqrt{2}$$

图 8.68
球冠。