例 8.68

一条抛物线反射面由曲线的一部分 $y = \sqrt{x}$ 介于 $x = 0$ 和 $x = 1$ 之间，绕 $x$ 轴旋转而成。该反射面的表面积是多少？

解

抛物线反射面如图 8.69 所示。由于 $y = x^{1/2}$ ,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

因此，利用 (8.46)，反射面的表面积 $S$ 由下式给出

$$\begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^1 y \sqrt{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]} dx \ &= 2\pi \int_0^1 \sqrt{x} \sqrt{\left(1 + \frac{1}{4x}\right)} dx \ &= 2\pi \int_0^1 \sqrt{x} \frac{\sqrt{(4x+1)}}{2\sqrt{x}} dx = \pi \int_0^1 \sqrt{(4x+1)} dx \ &= \pi \left[ \frac{1}{4} \frac{2}{3} (4x+1)^{3/2} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \pi (5^{3/2} - 1) \text{ square units} \end{aligned}$$

图 8.69
抛物线反射面。

例 8.69

图 8.70 所示悬索桥缆索所描述的曲线由下式给出

$$y = \frac{hx^2}{l^2} - \frac{2h}{l}x + h$$

其中 $x$ 是从桥的一端量起的距离。缆索的长度是多少（见例 8.5）？

解

这里曲线的方程为

$$y = h\left(\frac{x}{l} - 1\right)^2 \quad \text{so that} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{2h}{l}\left(\frac{x}{l} - 1\right)$$

图 8.70
悬索桥。