误差估计为 $\frac{1}{3}[T(0.5) - T(0.25)] = 0.003697$ 外推值为

1.151 479 − 0.003 697 = 1.147 782

此时我们可以看出积分值保留三位小数为 1.148。我们继续对分区间，得到：对于 $h = 0.125$ , $T(0.125) = 1.148 714$ ，误差估计为 0.000922，外推值为 1.147 793；对于 $h = 0.0625$ , $T(0.0625) = 1.148 714$ ，误差估计为 0.000230，外推值为 1.147 793。因此外推值在保留六位小数时一致，所以我们可以写出

$$\int_0^1 \sqrt{(1+x^2)} , dx = 1.14779$$

并确信该值在所给小数位数上是正确的。

8.10.2 辛普森法则

8.10.1 节中开发的对分区间算法是适用于自动计算的算法。它易于编程，并且在结合外推法使用时计算效率高。然而，它不便于手工计算。对于纸笔计算，一种常用的方法等价于 8.10.1 节中得到的外推结果，但不给出任何误差估计，也不便于通过对分区间来检验结果的精度。

对 $\int_a^b f(x) dx$ 使用一个区间的梯形法则近似为

$$T_1 = \frac{1}{2}(b - a)[f(a) + f(b)]$$

而使用两个区间时为

$$T_2 = \frac{b-a}{4} [f(a) + 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)]$$

基于这两个估计的外推为

$$\begin{aligned} S &= [4T_2 - T_1]/3 \ &= \frac{(b-a)}{6} [f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)] \end{aligned}$$

该公式为曲线下方区间内的面积提供了基本近似 $x = a$ 和 $x = b$ 。可以证明它是经过这三个点的抛物线下的面积 $(a, f(a))$ , $((a + b)/2, f((a + b)/2))$ 和 $(b, f(b))$ .