39 (a) 一条曲线（一个卵形线）由以下公式定义

$$x(\theta) = \cos^4\theta, \quad y(\theta) = \cos^3\theta \sin\theta$$

完成下表，给出 $x$ 和 $y$ 的值，保留两位小数。

利用这些数据在坐标纸上画出该卵形线。

(b) 证明：将由 (a) 中曲线绕 $x$ 轴旋转所生成的曲面围成的立体（一个卵形体）的体积为 $\pi/15$ 。

(c) 假设 (b) 中生成的卵形体密度均匀，证明其质心位于点 (15/28, 0)。

(d) 证明 (a) 中曲线在点 $(\cos^4\theta, \cos^3\theta \sin\theta)$ 处的切线方程为

$$y = \cos^3\theta \sin\theta$$

$$= (4 \sin^2\theta - 1)(x - \cos^4\theta)/(4 \sin\theta \cos\theta)$$

由此推出曲线的转折点，并证明该卵形线的宽度（即 $y$ 的最大值与最小值之间的距离）为 $3\sqrt{3}/4$ 。

(e) 证明 (a) 部分中曲线在点处的法线 $(\cos^4\theta, \cos^3\theta \sin\theta)$ 的方程为

$$y = \cos^3\theta \sin\theta$$

$$= 4 \sin \theta \cos \theta (x - \cos^4 \theta)/(4 \cos^2 \theta - 3)$$

(f) 当 $\theta$ 取何值时，(e) 中所得曲线的法线通过质心？

• (f) 当 $\theta$ 取何值时，(e) 中所得曲线的法线通过质心
• (g) 证明卵形体表面上一点到其质心的距离在满足以下条件处取得驻值： $\theta = 0$ , $\cos^{-1}(\sqrt{(5/7)})$ , $\pi/2$ , $\cos^{-1}(-\sqrt{(5/7)})$ 以及 $\pi$ ，并且(h) 若卵形体要在水平面上处于稳定平衡，生成卵形上的哪些点对应于与平面可能接触的点？