(c) 证明帐篷的表面积 $S \text{ m}^2$ 由下式给出

$$S = 8 \int_0^1 x \sqrt{\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)} dx$$

使用代换 $t = x^2$ 证明

$$S = 4 \int_0^1 \frac{1+t}{\sqrt{(1-t^2)}} dt$$

并推出 $S = 2\pi + 4$ 。

(d) 证明弧长 AB 的长度 $s^*m$ 由下式给出

$$s^* = \int_0^1 \sqrt{\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)} dx$$

使用代换 $x = \sin\theta$ 证明

$$s^* = \int_0^{\pi/2} \sqrt{(1 + \sin^2 \theta)} , d\theta$$

并用梯形法则计算（保留 3 位小数）该积分。

(e) 我们希望计算帐篷其中一个面板 BDE 的形状。证明半宽 $y$ , 在距离 $s$ 处，如图 8.89 所示，满足微分方程

$$\frac{dy}{ds} = \sqrt{\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)} \quad (8.51)$$

其中 $y = 0$ 在 $s = 0$ 处。

象限，如图 8.90 所示。假设解曲线 OP 已被正确绘制至点 P(s, y)，过 P 作平行于 s 轴的直线，直至与四分之一圆相交于 Q。然后过 Q 作平行于 y 轴的直线，直至与四分之一圆相交于 R。直线 RT 经过原点 O。图形解在 P 处继续，作垂直于 RT 的小直线段 PP'。然后在 P' 处重复此过程，依此类推，生成所需的曲线形状。

(g) 证明直线 OR 的斜率为

$$-\sqrt{\left(\frac{1+y^2}{1-y^2}\right)}$$

并解释为什么 (f) 中描述的作图法能生成该微分方程的近似解。

(h) 使用该方法求得该微分方程的图形解。（使用 A4 坐标纸，步长 PP' 为 2 厘米。）

(i) 为了使用欧拉方法（见后文 10.6.1 节）计算该解，最简单的方法是通过设定 $s$ 其中 $s = s^*t$ 来重新标度自变量。证明初值问题变为 $0 \leq t \leq 1$ 对于

$$\frac{dy}{dt} = s^* \sqrt{\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)}, \quad y(0) = 0$$

$0 \leq t \leq 1$ . 使用 $s^* = 1.91$ 以及步长 0.1 来计算 $t$ ，计算 $y_k \simeq y(t_k)$ 其中 $t_k = k/10$ 和 $k = 1, \dots, 10$ .

图 8.89 半宽 y。

图 8.90 第 38 题的四分之一圆。

图 8.89 半宽 y。