9.1 引言

当我们讨论了积分与微分微积分的基本思想和概念，并将其应用于各种实际问题（见第 8 章）时，我们也发展了使用微积分解决问题的技巧。在本章中，我们将把这些技巧扩展到处理更广泛的问题，并发展相关理论，使我们能够理解在实际问题求解中广泛使用的数值方法。我们将介绍多变量微积分，并用它来求解优化问题。

9.2 广义积分

当我们考虑定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 并展示了它与曲线下面积的等价性（见第 8 章）时，我们假设被积函数 $f(x)$ 在闭积分区域 $[a, b]$ 上是连续的，或至少是分段连续的。为了说明如果不满足这一条件可能产生的后果，考虑表面上的定积分 $\int_{-1}^1 (1/x^2) dx$ 。如果我们以机械的方式按照通常的步骤进行，我们应该写出

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx = \left[ \frac{-1}{x} \right]_{-1}^1 = -2$$

然而，如果我们绘制 $f(x) = 1/x^2$ 的图像，如图 9.1 所示，显然这是不正确的，因为它意味着一条完全位于 $x$ 轴上方的曲线下的面积为负。那么我们错在哪里呢？答案在于 $f(x) = 1/x^2$ 在处有一个无穷间断点或奇点（也就是说，它是无界的） $x = 0$ . 因此，在积分区域上曲线下方的区域 $[-1, 1]$ 是无界的，我们的积分过程是无效的。

在本节中，我们讨论在下列条件下积分何时存在： $\int_a^b f(x) dx$ 当

• (a) 被积函数 $f(x)$ 变为无界（即 $f(x)$ 在积分区域内某点具有无穷间断点），或
• (b) 积分区域是无限的（即 $a$ 或 $b$ 或两者都是无限的）。

这类积分称为反常积分，在工程中经常遇到。例如，长度为 $l$ 的单摆从静止以角度 $\alpha$ 由下式给出

$$2\sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)}\int_0^{\alpha}\frac{1}{\sqrt{(\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2})}}d\theta$$

其中 $g$ 是重力加速度。被积函数在 $\theta = \alpha$ 处为无穷大，然而我们从初等物理中知道该答案是有意义的。后面介绍拉普拉斯变换时还会遇到更多例子（见第 11 章）。

图 9.1
图像 $f(x) = 1/x^2$ .