9.2.1 具有无穷间断点的被积函数

假设下限 $x = a$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中唯一的无穷间断点。那么我们定义

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{X \rightarrow a+} \int_X^b f(x) dx \quad (9.1)$$

只要该单侧极限存在（见 7.8.2 节）。否则 $\int_a^b f(x) dx$ 没有意义。

类似地，如果上限 $x = b$ 是 $[a, b]$ 中唯一的无穷间断点，我们定义

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{X \rightarrow b^-} \int_a^X f(x) dx \quad (9.2)$$

只要该极限存在。否则 $\int_a^b f(x) dx$ 没有意义。

例 9.1 在有定义的情况下求下列各式的值：

$$(a) \int_0^1 x^{-2/3} dx \quad (b) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}} \quad (c) \int_0^1 \ln x dx \quad (d) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$$

解

解 (a) 这里积分在下限处有一个无穷间断点 $x = 0$ ，我们考虑

$$\lim_{X \rightarrow 0^+} \int_X^1 x^{-2/3} dx = \lim_{X \rightarrow 0^+} [3x^{1/3}]X^1 = \lim{X \rightarrow 0^+} (3 - 3X^{1/3}) = 3$$

由于极限存在，由 (9.1) 可得

$$\int_0^1 x^{-2/3} dx = 3$$

(b) 这里被积函数的间断点出现在上限处 $x = 1$ ，因此我们考虑

$$\lim_{X \rightarrow 1^-} \int_0^X \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}} = \lim_{X \rightarrow 1^-} [\sin^{-1} x]0^X = \lim{X \rightarrow 1^-} (\sin^{-1} X) = \frac{1}{2} \pi$$

由于极限存在，由 (9.2) 可得

$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}} = \frac{1}{2}\pi$$