泰勒定理实际上是第一中值定理（定理 9.3）的自然推广，有时也被称为 n 阶中值定理。它可以通过反复应用罗尔定理（定理 9.1）来证明，但由于该证明无助于我们理解如何将该结果应用于工程问题的求解，因此此处不作展开。

9.4.2 泰勒级数与麦克劳林级数

当我们把泰勒多项式（9.10）中的 $x$ 替换为 $a + x$ 时，便得到另一种形式的展开式。于是我们得到一个关于 $x$ 的多项式，而不是关于 $x - a$ 的多项式，即

$$f(x + a) = f(a) + \frac{x}{1!}f'(a) + \frac{x^2}{2!}f''(a) + \frac{x^3}{3!}f'''(a) + \dots \ + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(a) + R_n(x) \quad (9.11)$$

其中

$$R_n(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a + \theta x), \quad \text{with } 0 < \theta < 1$$

式（9.11）称为 $f(x)$ 关于 $x = a$的泰勒多项式展开式。

余项 $R_n(x)$ 表示近似时产生的误差 $f(x)$ 用多项式

$$f(a) + \frac{x}{1!}f'(a) + \frac{x^2}{2!}f''(a) + \dots + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(a)$$

如果 $R_n(x) \rightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$ 那么我们可以将 $f(x)$ 表示为幂级数

$$f(x + a) = f(a) + \frac{x}{1!}f'(a) + \frac{x^2}{2!}f''(a) + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(a) \quad (9.12)$$

幂级数 (9.12) 称为 $f(x)$ 关于 $x = a$** 的**泰勒级数展开。我们之前（第 7.7.1 节）看到，幂级数的收敛域可能是受限的。类似地， $R_n(x)$ 可能趋于零，当 $n \rightarrow \infty$ 仅对变量的受限区间内取值有效 $x$ 或完全无效。在这种情况下，由 (9.12) 给出的幂级数将只表示该函数 $f(x)$ 在该收敛区间内。

设 $a = 0$ 代入 (9.13) 得到特例

$$f(x) = f(0) + \frac{x}{1!}f'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0) \quad (9.13)$$