设置 $x = 1$ 在 $p(x)$ 及其各阶导数，依次得到

$$p(1) = a = 4 \quad p'(1) = b = 0$$

$$p''(1) = 2c = 2 \quad p'''(1) = 6d = 12$$

因此所需的近似为

$$p(x) = 4 + 0(x - 1) + 1(x - 1)^2 + 2(x - 1)^3 = 4 + (x - 1)^2 + 2(x - 1)^3$$

这样的函数多项式近似称为 泰勒多项式。一般地，我们可以将函数的 $n$ 阶泰勒多项式近似写为 $f(x)$ 在给定函数及其导数在 $x = a$ 处的值的情况下，其形式为

$$f(x) \approx p_n(x)$$

其中

$$p_n(x) = f(a) + \frac{x - a}{1!} f'(a) + \frac{(x - a)^2}{2!} f''(a) + \frac{(x - a)^3}{3!} f'''(a) + \dots \ + \frac{(x - a)^n}{n!} f^{(n)}(a) \quad (9.8)$$

显然， $p_n(a) = f(a)$ , 同时也是第一个 $n$ 的导数 $p_n(x)$ 匹配第一个 $n$ 的导数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处。

在 (9.8) 中给出的 $f(x)$ 的近似可以通过写成

$$f(x) = p_n(x) + R_n(x) \quad (9.9)$$

而变为精确，其中 $R_n(x)$ 是余项。余项可以以多种不同的形式表示，其中最简单的称为拉格朗日形式，即

$$R_n(x) = \frac{(x - a)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(a + \theta h)$$

其中 $h = x - a$ 和 $0 < \theta < 1$ 。

该结果 (9.9) 构成了泰勒定理，可表述如下。

定理 9.4 泰勒定理

若 $f(x), f'(x), \dots, f^{(n)}(x)$ 在闭区域上存在且连续， $[a, x]$ 且 $f^{(n+1)}(x)$ 在开区域上存在， $(a, x)$ 则存在一个数 $\theta$ ，满足 $0 < \theta < 1$ ，使得

$$f(x) = f(a) + \frac{x - a}{1!} f'(a) + \frac{(x - a)^2}{2!} f''(a) + \dots \ + \frac{(x - a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \frac{(x - a)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(a + \theta h) \quad (9.10)$$