(a) $(1+x)^r = 1 + rx + \frac{r(r-1)x^2}{2!} + \frac{r(r-1)(r-2)x^3}{3!} + \dots + \frac{r(r-1)\dots(r-n+1)}{n!} x^n + \dots$ ( $-1 < x < 1, r \in \mathbb{R}$ )

(b) $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$ （全部 $x$ )

(c) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots$ （全部 $x$ )

(d) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ （全部 $x$ )

(e) $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} + \dots$ ( $-1 < x \leq 1$ )

(f) $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \dots$ ( $-\frac{1}{2}\pi < x < \frac{1}{2}\pi$ )

(g) $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots$ （全部 $x$ )

(h) $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ （全部 $x$ ）

图 9.6 一些标准的麦克劳林级数展开式。

在 MATLAB 中，命令 taylor(f, n, x, a) 返回 $(n-1)$ 关于 $f(x)$ 的 n 阶泰勒级数展开式，其中 $x = a$ , 而 taylor(f, n, x) 返回 $f(x)$ 的麦克劳林级数展开。考虑例 9.10，命令

syms x
f = taylor(exp(x)*sin(x), x, 'Order', 6)

返回答案

$$x + x^2 + 1/3x^3 - 1/30x^5$$

，与解答中给出的答案一致。

要得到关于 $x = a$ 的相应级数的前三项，命令

syms x a
f = taylor(exp(x)*sin(x), 'ExpansionPoint', a, 'Order', 3)

返回答案

$$e^a \sin(a) + (e^a \cos(a) + e^a \sin(a))(x - a) + e^a \cos(a)(x - a)^2 + O((x - a)^3)$$

，其中 $e^a$ 表示为 $\exp(a)$