例 9.11 利用 $e^x$ 和 $\sin x$ 的麦克劳林级数展开式，验证例 9.10 中得到的 $e^x \sin x$ 的麦克劳林级数展开式。

解 根据图 9.6 中的条目 (b) 和 (c)

$$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \quad (\text{all } x)$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \quad (\text{all } x)$$

如前所述（第 7.7.2 节），我们可以在两个幂级数的公共收敛域内将它们相乘，在本例中可得

$$\begin{aligned} e^x \sin x &= \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right) \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \right) \ &= x + x^2 + x^3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) + x^4 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \right) + x^5 \left( \frac{1}{120} + \frac{1}{24} - \frac{1}{12} \right) + \dots \ &= x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 + \dots \quad (\text{all } x) \end{aligned}$$

这正是例 9.10 中得到的级数。

例 9.12 求 $(1 - x^2)^{-1/2}$ 的二项式展开式，并由此推导出 $\sin^{-1}x$ 的幂级数展开式。

解 根据图 9.5 中的条目 (a)。

$$(1 + x)^r = 1 + rx + \frac{r(r-1)x^2}{2!} + \frac{r(r-1)(r-2)x^3}{3!} + \dots \quad (|x| < 1)$$

为求得 $(1 - x^2)^{-1/2}$ 的展开式，我们需要令 $r = -\frac{1}{2}$ 并替换 $x$ 为 $-x^2$ 。我们将分两步进行。首先，令 $r = -\frac{1}{2}$ 得到

$$\begin{aligned} (1 + x)^{-1/2} &= 1 + \frac{-\frac{1}{2}x}{1} + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{1 \cdot 2}x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^3 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-\frac{7}{2})}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}x^4 + \dots \ &= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}x^4 + \dots \quad (|x| < 1) \end{aligned}$$

然后，将 $x$ 替换为 $-x^2$ ，我们有

$$(1 - x^2)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}(-x^2) + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}(-x^2)^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}(-x^2)^3 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}(-x^2)^4 + \dots$$

从而得到所需的二项式展开

$$\begin{aligned} (1 - x^2)^{-1/2} &= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^6 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}x^8 + \dots \ &= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \frac{5}{16}x^6 + \frac{35}{128}x^8 + \dots \quad (|x| < 1) \end{aligned} \tag{9.14}$$