且

$$2(R-r)\sin^{-1}\left(\frac{R-r}{l}\right) = 2(R-r)\left[\left(\frac{R-r}{l}\right) + \frac{1}{6}\left(\frac{R-r}{l}\right)^3 + \dots\right]$$

因此

$$L = 2l + \pi(R+r) + \frac{(R-r)^2}{l} + \frac{1}{12} \frac{(R-r)^4}{l^3} + \dots$$

于是当 $l \gg R-r$ 时，我们有

$$L \simeq 2l + \pi(R+r) + (R-r)^2/l$$

关于该误差的讨论，参见习题 9.4.4 中的第 18 题。

9.4.3 洛必达法则

有时我们需要求形如

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

其中 $f(a) = g(a) = 0$ 的极限。尽管这样的极限可能有定义，但它无法通过代入 $x = a$ 来求得，因为这样会产生 0/0 型未定式。利用泰勒定理（定理 9.4），我们可以制定一个规则来求这类极限（如果存在的话）。

利用泰勒级数，我们可以写成

$$\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{1}{2}(x-a)^2f''(a) + \dots}{g(a) + (x-a)g'(a) + \frac{1}{2}(x-a)^2g''(a) + \dots} \ &= \frac{f'(a) + \frac{1}{2}(x-a)f''(a) + \dots}{g'(a) + \frac{1}{2}(x-a)g''(a) + \dots} \quad \text{since } f(a) = g(a) = 0, x \neq a \end{aligned}$$

因此

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$

已给出 $g'(a) \neq 0$ 。这就是所谓的洛必达法则。

可能的情况是 $f'(a)/g'(a)$ 也是未定式。因此，当应用洛必达法则求极限

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

时，每当在 $f(x)$ 处出现 0/0 未定式，我们就必须重复对 $g(x)$ 和 $x = c$ 求导的过程。然而，如果在过程中的任何阶段，其中一个导数在 $x = a$ 处非零，那么我们必须停止该过程，因为该法则不再适用。在这种情况下，极限要么为零，要么为无穷大，要么不存在；例如， $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}$ 不存在。