现在

$$\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)}} = \sin^{-1}x$$

因此，对级数 (9.14) 逐项积分，我们得到

$$\sin^{-1}x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \dots \quad (|x| < 1)$$

注意，在例 9.12 中我们对一个幂级数进行积分，得到了另一个函数的展开式。一般地，我们可以在幂级数的绝对收敛域内对其进行积分和求导。

对于例 9.12，验证以下命令

syms x
taylor((1 - x^2)^(-1/2), 'Order', 9)
pretty(ans)return the answer given in (9.12) and that the additional commandsint (ans) ;

返回的积分级数为 $\sin^{-1}x$ 。

注： 平方根项也可以输入为 $1/\sqrt{x^2}$ 这通常是更推荐的做法。

例 9.13

例 1.48 中的连续带长度为 $L$ 由下式给出

$$L = 2[l^2 - (R - r)^2]^{1/2} + \pi(R + r) + 2(R - r)\sin^{-1}\left(\frac{R - r}{l}\right)$$

证明当 $R - r \ll l$ , 一个很好的近似为 $L$ 由下式给出

$$L \approx 2l + \pi(R + r) + (R - r)^2/l$$

解 分别取公式中的首项和末项 $L$ 我们得到

$$\begin{aligned} 2[l^2 - (R - r)^2]^{1/2} &= 2l \left[ 1 - \left( \frac{R - r}{l} \right)^2 \right]^{1/2} \ &= 2l \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{R - r}{l} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{2} \right) \left( \frac{R - r}{l} \right)^4 - \dots \right] \end{aligned}$$