$$y_{n+1}(x) = 1 + \int_0^x [y_n(t) - t + 1] dt,$$ 与 $y_0(x) = y(0) = 1$

代入 $y_0(x) = 1$ 到积分中，证明

$$y_1(x) = 1 + 2x - \frac{1}{2}x^2$$

$$y_2(x) = 1 + 2x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3$$

并求出 $y_3$ 和 $y_4$ 。

11 证明 $(1 + x)^{-1}$ 的二项式展开为
$(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ ( $-1 < x < 1$ )

由此求出 $\tan^{-1}x$ 的麦克劳林级数展开。

12 利用 $\sin x$ 的级数和 $\cos x$ 以求出 $\tan x$ 的麦克劳林级数，直到 $x^7$ 项。
由此推导 $\ln \cos x$ 的级数。

13 证明
$\coth x = \frac{1}{x} \left( 1 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{45}x^4 + \frac{2}{945}x^6 - \dots \right)$

14 磁铁在轴线上距其中心距离为 $H$ 的一点处的磁场强度 $x$ 由下式给出

$$H = \frac{M}{2l} \left[ \frac{1}{(x - l)^2} - \frac{1}{(x + l)^2} \right]$$

其中 $2l$ 为磁铁的长度， $M$ 为其磁矩。证明若 $l$ 与相比非常小 $x$ 则

$$H \approx \frac{2M}{x^3}$$

15 利用 $e^x$ 和 $\cos x$ 的麦克劳林级数展开式，证明

$$\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^x + e^{-x} - 2}{2 \cos 2x - 2} \right) = -\frac{1}{4}$$

16 证明
$\ln \left( \frac{\sin x}{x} \right) \approx -\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{180}x^4$

若 $x$ 的幂次高于 $x^5$ 的项被忽略。

17 通过将 $e^{-x^2}$ 展开为麦克劳林级数，证明
$\int_0^{1/2} e^{-x^2} dx \approx 0.461$

18 考虑例 9.13 中的问题，当 $l$ 取何值时，近似式

$$L \approx 2l + \frac{(R - r)^2}{l} + 3.14(R + r)$$

在 $R = 5$ 且 $r = 4$ 时的百分比误差小于 0.05%？

19 利用洛必达法则，求下列极限：

(a) $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^3 - 3x - 2}{x^3 - 8}$ (b) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - x)^{1/4}}{x}$
(c) $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ (d) $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{3}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} \right)$
(e) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^3}$ (f) $\lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{1 - \sin x}{\ln \sin x}$

20 再次考虑例 8.35 中讨论的牛奶盒设计。证明：如果其制作中所用的重叠部分为 $x$ 毫米而不是 5 毫米，则需要最小化的目标函数为

$$f(b) = (4b + x) \left( \frac{1 136 000}{b^2} + b + 2x \right)$$

证明当 $x = 0$ 时， $b$ 的最优值为 $b_0^* = 10(568)^{1/3}$ . 最优值 $b^$ 取决于 $x$ 。求 $b^$ 的麦克劳林级数展开，直到含 $x^2$ 的项为止，并讨论重叠部分的大小对纸箱设计的影响。（提示：设 $b^* \approx b_0 + b_1 x + b_2 x^2$ .)

9.4.5 再论插值

前面（见 2.9.1 节）我们建立了线性插值的概念，并证明了近似式

$$f(x) \approx f_i + \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i} (f_{i+1} - f_i)$$