给出了一个值，当 $f(x)$ 时，其精度与原始数据相同，即 $|\Delta^2 f_i|$ 小于最低有效位的 4 个单位。在许多应用中，用二阶导数而不是二阶差分来表示这一条件更为方便。

现在

$$\Delta^2 f_i = f(x_i + h) - 2f(x_i) + f(x_i - h)$$

将 $f(x_i + h)$ 和 $f(x_i - h)$ 在 $x = x_i$ 处进行泰勒展开，我们得到（经过一些项的相消后）

$$\Delta^2 f_i = h^2 f''(x_i) + \frac{h^4}{12} f''''(x_i) + \dots$$

首项为 $\Delta^2f_i$ 提供了一个良好的估计，因此精确线性插值的条件变为

$$h^2|f''(x)| < 4$$ 个最低有效位单位

这使我们能够选择合适的表格间距，如例 9.15 所示。

例 9.15 函数 $f(x) = e^{-x}$ 需在区间上制表至 4 位小数 $[0, 0.5]$ 。求最大制表区间，使得所得的表适合 4 位小数的线性插值；也就是说，插值所得的值与制表值具有相同的精度。

解答 这里我们要求

$$h^2|f''(x)| < 4 \times 0.0001$$

由于 $f(x) = e^{-x}$ 我们推出 $f''(x) = e^{-x}$ 。在区间 $[0, 0.5]$ 上， $e^{-x}$ 的最大值出现在 $x = 0$ 处，其中 $e^0 = 1$ 。因此我们需要 $h$ 的最大值，使得

$$h^2 < 4 \times 0.0001$$

因此 $h < 0.02$ ，因此最大的表格区间为 0.02。

9.4.6 习题

• 21 需要一个用于 $e^x$ 的表格，以便进行精确到 6 位小数的线性插值。该表针对从 $x$ 到 $x = 0$ 、间隔为 0.001 的值编制。请问 $x = X$ 的最大可能值是多少？ $X$ ?
• 22 需要一个用于 $\tan x$ 的表格，以便进行精确到 6 位小数的线性插值。该表针对 $x$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 以间隔 $h$ 弧度。求以下的最大可能值： $h$ ?
• 23 在第 8.6 节中我们讨论了使用近似式进行数值微分的过程

$$\phi(h) = \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$$ 利用 $f(a + h)$ 和 $f(a - h)$ 关于 $x = a$ 的泰勒级数，证明

$$f'(a) = \phi(h) - \frac{h^2}{3!} f^{(3)}(a) - \frac{h^4}{5!} f^{(5)}(a) - \dots$$

并推导出

$$f'(a) = \frac{1}{3} [4\phi(\frac{1}{2}h) - \phi(h)] + \frac{1}{4} \frac{h^4}{5!} f^{(5)}(a) + \dots$$

写出 $\psi(h) = \frac{1}{3}[4\phi(\frac{1}{2}h) - \phi(h)]$ ，证明 $\frac{1}{15}[16\psi(\frac{1}{2}h) - \psi(h)]$ 给出 $f'(a)$ 的一个近似，其截断误差为 $O(h^6)$ 。应用此外推方法求 $f'(1)$ 当 $f(x) = \cosh x$ 时，取 $h = 0.4, 0.2$ 和 $0.1$ ，计算到你的计算器所能允许的尽可能多的小数位。