以求得 $x_{n+1}$ 。这是因为 $y = f(x)$ 的图像在 $x = x_n$ 处的切线将平行于水平 $x$ 轴。

与一般迭代 $x_{n+1} = g(x_n)$ 比较，我们看到在牛顿-拉夫逊方法 (9.17) 的情形中，迭代函数为

$$g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$$

利用商法则，其导数为

$$g'(x) = 1 - \frac{[f'(x)]^2 - f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} = \frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2}$$

由于 $\alpha$ 是 $f(x) = 0$ 的一个根，我们有 $f(\alpha) = 0$ , 给出

$$g'(\alpha) = 0$$

因此该过程不是一阶过程。再次求导并代入 $x = \alpha$ ，我们得到

$$g''(\alpha) = \frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}$$

并且只要 $f'(\alpha) \neq 0$ ，我们就有一个二阶过程。如果 $f''(\alpha) = 0$ , $f'(\alpha) \neq 0$ 那么我们有一个三阶或更高阶的过程。当 $f(x) = 0$ 在 $x = \alpha$ , $g'(\alpha)$ 处有重根时 $x \tan x = 4$ 呈现 0/0 的未定形式，分析失败。重根会引起数值问题和理论问题。

例 9.17 方程 $x = 1$ 在之前的例 9.16 中已经讨论过。应用牛顿-拉夫逊方法求靠近

解 首先，我们将方程改写为更便于求导的形式

$$x \sin x - 4 \cos x = 0$$

然后取 $f(x) = x \sin x - 4 \cos x$ 我们有 $f'(x) = x \cos x + 5 \sin x$ 。使用迭代

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n), \quad x_0 = 1$$

得到以下数值（保留 9 位小数）

1.000 000 000

1.277 976 731

1.264 600 951

1.264 591 571

1.264 591 571

因此经过四次迭代后，我们得到一个精确到 9 位小数的答案。

例 9.18 求

的根。求根

$$8.0000x^4 + 0.4500x^3 - 4.5440x - 0.1136 = 0$$