并近似 $\varepsilon_n$ 为 $x_n - x_{n+1}$ 和 $\alpha$ 为 $x_3$ 。因此在这种情况下我们有

$$\varepsilon_3 \approx g'(x_3)(x_2 - x_3) = \frac{-4}{16 + (1.2678)^2} (-0.0171) = 0.0039$$

所以根为 1.26（保留三位有效数字）。

9.4.8 牛顿-拉夫逊方法

工程师求解非线性方程最常用的技术之一是牛顿-拉夫逊方法。其基本思想是，如果 $x_0$ 是方程 $x = \alpha$ 的根 $f(x) = 0$ 的一个近似值，那么更精确的近似值将由点给出 $x = x_1$ 其中曲线在 $x = x_0$ 处的切线与 $x$ 轴相交，如图 9.7 所示。

图 9.7
牛顿-拉夫逊求根方法。

根据导数的定义

$$f'(x_0) = \text{slope of } P_0 Q_1 = \frac{f(x_0)}{x_0 - x_1}$$

可以整理得到

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

取 $x_1$ 作为根的新近似值 $x = \alpha$ 并重复该过程，如图 9.7 所示，我们得到更接近的近似值

$$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$$

依此类推。一般地，我们可以写成

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \quad (9.17)$$

方程 (9.17) 被称为用于求根近似值的牛顿-拉夫逊迭代法 $f(x) = 0$ . 注意，如果 $f'(x_n) = 0$ 则不能使用 (9.17)