9.4.9 优化问题重探

在第 8.5 节中我们曾指出，将在引入泰勒级数之后重新考虑判定驻点性质的条件。

如果可微函数的最小值出现在 $f(x)$ 处，那么差值 $x = a$ 对于所有小的 $f(a + h) - f(a)$ 都为正。然而，根据泰勒级数 (9.12) $h$ ，等式右边表达式的符号取决于

$$f(a + h) - f(a) = hf'(a) + \frac{1}{2!}h^2f''(a) + \frac{1}{3!}h^3f'''(a) + \dots$$

的符号。除非 $h$ ，否则当 $h$ 改变符号时它也会改变符号；在这种情况下，符号取决于 $f'(a) = 0$ 的符号。因此，最小值出现在 $f''(a)$ 处的必要条件是 $x = a$ 即 $f'(a) = 0$ ，且在 $f(x)$ 处取得极小值的充分必要条件是 $x = a$ 为 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) > 0$ 。类似地，可微函数的极大值出现在 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) < 0$ 处。若 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) = 0$ ，则可能取得极大值、极小值或拐点。若 $f'(a) = f''(a) = 0$ , 在该点取得极小值或极大值的必要条件是 $x = a$ 为 $f'''(a) = 0$ ，等等。然而，需要记住的是，函数在其导数不存在的点处也可能取得最优值，如图 9.9 所示。可以建立一种使用牛顿–拉弗森方法来寻找函数最优点的数值格式。由此得到的迭代

图 9.9
$y = (x - 1)^{2/3}$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，但该函数在此处不可微。

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

但在实际中很少使用。通常采用与第 85 题（练习 8.5.2）中所述类似的区间套方法。

9.4.10 练习

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下面给出三种通过迭代计算 $\sqrt{2}$ 的方法。求每种方法的阶数，并讨论它们的数值性质。 $x_{n+1} = 1 + 1/(1 + x_n)$ (b) $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + 2/x_n)$
(c) $x_{n+1} = (3x_n^4 + 12x_n^2 - 4)/(8x_n^3)$

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使用牛顿–拉夫逊迭代法求下列方程的实根 $x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = 0$ 精确到 4 位小数。

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使用牛顿–拉夫逊法求下列方程的两个正根 $x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 32x + 28 = 0$ .

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迭代式 $x_{n+1} = x_n(3 - 3ax_n + a^2x_n^2)$ 可用于计算 $a$ 的倒数；也就是说，求解 $ax = 1$ 。证明这是一个三阶过程，其中 $e_{n+1} = a^2e_n^3$ 。对该迭代应用 $a = 1.735$ ，从 $x_0 = 0.5$ 开始，并证明 $x_2$ 精确到小数点后 8 位。

9.4.11 数值积分

由泰勒级数得出的一个著名数学结果被称为 Euler–Maclaurin 公式：

$$\int_a^b f(x)dx = \frac{b-a}{2}[f(b) + f(a)] - \frac{(b-a)^2}{12}[f'(b) - f'(a)] + \frac{(b-a)^4}{720}[f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] - \frac{(b-a)^6}{30240}[f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] \dots$$