将区间细分 $[a, b]$ 为 $n$ 个宽度为 $h$ 的等宽条带，我们有

$$\int_a^b f(x) dx = \sum_{r=0}^{n-1} \int_{x_r}^{x_{r+1}} f(x) dx, \quad x_r = a + rh$$

对求和中的每一项应用 Euler–Maclaurin 公式，我们得到梯形法则以及截断误差关于 $h$ :

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx &= \frac{1}{2}h(f_0 + 2f_1 + 2f_2 + \dots + 2f_{n-1} + f_n) - \frac{1}{12}h^2(f'_n - f'_0) \ &\quad + \frac{1}{720}h^4(f_n^{(3)} - f_0^{(3)}) - \frac{1}{30240}h^6(f_n^{(5)} - f_0^{(5)}) + \dots \ &= T(h) + \alpha_1 h^2 + \alpha_2 h^4 + \alpha_3 h^6 + \dots \end{aligned} \tag{9.18}$$

的幂级数展开，其中 $T(h)$ 是使用 $n$ 个宽度为 $h$ 的条带对积分的梯形近似，其中 $nh = b - a$ ，且 $\alpha$ 's 与 $h$ 无关。由此我们看到，该近似的全局截断误差的主项为 $\frac{1}{12}h^2[f'(b) - f'(a)]$ 利用第一中值定理 9.3，可将其写为 $\frac{1}{12}h^2(b - a)f''(c)$ 其中 $a < c < b$ 。

这一分析没有考虑 $f_i$ ( $i = 0, 1, \dots, n$ 的值中舍入误差的影响）。对这些误差的一个简单估计是

$$\begin{aligned} &h\left(\frac{1}{2} + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n-1 \text{ terms}} + \frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2} \text{ unit of the least significant figure}\right) \ &= nh\left(\frac{1}{2} \text{ unit of the least significant figure}\right) \ &= (b - a)\left(\frac{1}{2} \text{ unit of the least significant figure}\right) \end{aligned}$$

该结果假设被积函数的值具有固定的小数位数，适用于计算器运算。对于计算机而言，当 $h$ 较小而 $n$ 较大时，将大量几乎相等的数相加会产生有效数字丢失的问题。

例 9.19

在例 8.72 中，积分 $\int_1^2 (1/x) dx$ 是用梯形法则估计的，取 $h = \frac{1}{4}$ 并对被积函数列表计算到 6 位小数。对所得答案估计一个误差界。

解答 这里 $f(x) = 1/x$ , $a = 1$ 和 $b = 2$ 。全局误差由下式给出

$$\frac{1}{12}(b - a)h^2f''(X), \quad \text{with } a \leq X \leq b$$

因此在本例中它为

$$\frac{1}{12}(1)(0.25)^2 \frac{2}{X^3}, \quad \text{with } 1 \leq X \leq 2$$

该值可能取到的最大值出现在 $X = 1$ 时，因此我们得到截断误差的估计值为 0.010。舍入误差的影响 0.0000005 与之相比可以忽略不计。我们目前计算出的误差界安全地高估了计算中实际得到的误差 0.004。