计算

$$(a) \frac{d\mathbf{r}}{dt} \quad (b) \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \quad (c) \left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right| \quad (d) \frac{d}{dt}(|\mathbf{r}|)$$

解答 该曲线的草图如图 9.10 所示。它是一个圆心在原点、半径为 1 的圆。

$$(a) \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t)\mathbf{i} + \frac{d}{dt}(\cos t)\mathbf{j} = \cos t\mathbf{i} - \sin t\mathbf{j}$$ $$(b) \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = \frac{d}{dt}(\cos t) \mathbf{i} - \frac{d}{dt}(\sin t) \mathbf{j} = -\sin t \mathbf{i} - \cos t \mathbf{j}$$

$$(c) \left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right| = (\cos^2 t + \sin^2 t)^{1/2} = 1$$

$$(d) |\mathbf{r}| = (\sin^2 t + \cos^2 t)^{1/2} = 1$$

使得

$$\frac{d}{dt}(|\mathbf{r}|) = \frac{d}{dt}(1) = 0$$

注意

$$\frac{d}{dt}(|\mathbf{r}|) \neq \left| \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right|$$

同样地，向量 v(t) 关于变量 t 的积分通常用其分量来进行：

$$\begin{aligned} \int \mathbf{v}(t) dt &= \int (v_1(t), v_2(t), v_3(t)) dt \ &= \left( \int v_1(t) dt, \int v_2(t) dt, \int v_3(t) dt \right) \end{aligned}$$

当然，积分的任意常数现在是一个向量常数 $\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)$ .

例 9.21 已知

$$\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -g\mathbf{k} \quad \text{with} \quad \mathbf{r}(0) = 0 \quad \text{and} \quad \dot{\mathbf{r}}(0) = \mathbf{V}$$

求 $\mathbf{r}(t)$ 。求点 P 的轨迹，使得 $\vec{OP} = \mathbf{r}$ ，用以下形式表示 $x$ 和 $z$ 当 $V = (u, 0, v)$ .

图 9.10