9.5 矢量微积分

在力学中，描述动力学系统的矢量是随时间变化的。这类矢量可以按照标量相同过程的自然推广进行积分和微分。本节我们简要介绍相关的定义。

9.5.1 矢量的微分与积分

形式化定义给出矢量的导数 $\mathbf{v}(t)$ 为

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\mathbf{v}(t + \Delta t) - \mathbf{v}(t)}{\Delta t}$$

因此如果 $\mathbf{v} = (v_1(t), v_2(t), v_3(t))$ 则

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left( \frac{dv_1}{dt}, \frac{dv_2}{dt}, \frac{dv_3}{dt} \right)$$

例如，粒子的位置矢量 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 可以对时间求导 $t$ 得到其速度 $\mathbf{v}(t)$ 为

$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right)$$

再次求导得到粒子的加速度为

$$\mathbf{f}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}, \frac{d^2z}{dt^2} \right)$$

当对向量关于时间求导时，通常使用“点”记号，写作

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \quad \text{and} \quad \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \ddot{\mathbf{r}}$$

通常的求导法则可以由这个定义推导出来。

$$(a) \frac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)] = \frac{d\mathbf{u}}{dt} + \frac{d\mathbf{v}}{dt}$$

$$(b) \frac{d}{dt} [\lambda(t) \mathbf{v}(t)] = \frac{d\lambda}{dt} \mathbf{v}(t) + \lambda(t) \frac{d\mathbf{v}}{dt}, \quad \text{where } \lambda(t) \text{ is a scalar function}$$

$$(c) \frac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \frac{d\mathbf{u}}{dt} \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}$$

$$(d) \frac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \frac{d\mathbf{u}}{dt} \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \frac{d\mathbf{v}}{dt}, \quad \text{note importance of order}$$

$$\mathbf{r} = \sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}$$