常微分。在书写时，必须注意区分 $\frac{df}{dx}$ , $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，它们都有不同的含义。

有时会使用一种简洁的记号来表示偏导数；作为“卷曲 d”的替代，我们写作

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{and} \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$$

但应注意，下标通常有其他含义，因此以这种方式使用下标时需谨慎。

如果我们写作 $z = f(x, y)$ 那么偏导数也可以写成

$$\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \quad \text{or} \quad z_x, z_y$$

总结

函数 $z = f(x, y)$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的偏导数分别由下式给出

$$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \frac{\partial z}{\partial x} = z_x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \right] \quad (9.20)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = f_y = \frac{\partial z}{\partial y} = z_y = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \right] \quad (9.21)$$

求偏导数并不比求一元函数的导数困难，常数乘法、和、积与商法则在偏导数中都有对应的法则。但请注意，尽管记号如此，偏导数并不像分数那样运算。例如， $\frac{\partial x}{\partial z} \neq 1/\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ .

例 9.22

用定义求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在点 $(1, 2)$ 处 $f(x, y) = x^3 + 3xy + y^2$ 。

解 $f(x, y)$ 关于 $x$ 在 $(1, 2)$ 处的偏导数由下式给出

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x, 2) - f(1, 2)}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[(1 + \Delta x)^3 + 3(1 + \Delta x)2 + 4] - 11}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{3\Delta x + 3\Delta x^2 + 3\Delta x^3 + 6\Delta x}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (9 + 3\Delta x + \Delta x^2) \ &= 9 \end{aligned}$$